A - Le Loyer de l'Argent

Pourquoi 100 € enfermés dans un tiroir semblent perdre de la valeur avec le temps, mais augmentent si vous les prêtez à quelqu'un ? Aujourd'hui, nous allons découvrir le moteur de toute la finance : la Valeur Temporelle de l'Argent.

1. Analogie

Imaginez que vous vouliez faire un tour de scooter électrique en ville, mais que vous ne vouliez pas dépenser 500 € pour en acheter un. À la place, vous utilisez une application de partage et payez 5 € pour une heure.

Pourquoi l'entreprise de location vous facture-t-elle ce loyer ?

1. Coût d'Opportunité : Pendant que vous utilisez le scooter, l'entreprise ne peut pas l'utiliser, le vendre ou le louer à quelqu'un d'autre.
2. Usure & Amortissement : Le scooter vieillit un peu, la batterie s'use et les pneus s'abîment pendant votre trajet.
3. Risque : Vous risquez d'endommager le scooter, de le rayer ou de ne pas le rapporter.

Louer du Cash

L'argent fonctionne exactement de la même manière. Si un ami souhaite acheter une imprimante 3D pour lancer son activité aujourd'hui mais n'a pas les fonds, il peut vous emprunter 100 €.

Lorsque vous lui prêtez votre argent, vous lui louez votre pouvoir d'achat. Vous lui demandez un loyer pour plusieurs raisons :

1. Coût d'Opportunité : Vous ne pouvez pas acheter de baskets ou de jeux vidéo avec ces 100 € pendant toute l'année.
2. Inflation (Érosion) : Les prix des choses vont probablement augmenter durant l'année, ce qui signifie que 100 € l'année prochaine achèteront moins qu'aujourd'hui.
3. Risque de Crédit : Il y a toujours un petit risque que le projet de votre ami échoue et qu'il ne puisse pas vous rembourser.

IMPORTANT 🤔

L'Intérêt est simplement le loyer de l'argent.

2. Taux d'Intérêt

Pour un scooter, le loyer est simple : 5 € de l'heure. Mais l'argent est parfaitement modulable.

• Louer 100 € peut coûter 5 € par an.
• Louer 1 000 € devrait coûter 10 fois plus : 50 € par an.

Parce que l'argent s'adapte à toutes les échelles, nous n'exprimons pas son loyer sous forme de montant fixe. Nous l'exprimons en pourcentage du montant emprunté par an. C'est le Taux d'Intérêt ($r$).

$$\begin{array}{rl}\text{Taux d’Interet }(r)& =\frac{\text{Loyer par An}}{\text{Capital Emprunte}}\\ & =\frac{\text{5 €}}{\text{100 €}}\\ & =0.05=5\mathrm{\%}\end{array}$$

Le montant initial emprunté est appelé le Capital ($PV$).

3. Capitalisation

Si vous prêtez 100 € à un taux d'intérêt de 5 % pendant 2 ans, l'emprunteur vous paie-t-il simplement 10 € de loyer au total ? Non !

À la fin de la première année, il vous doit 105 € (100 € de capital + 5 € de loyer). S'il ne vous paie pas les 5 € de loyer tout de suite et les garde pour la deuxième année, il vous loue désormais 105 €. Lors de la deuxième année, il doit payer un loyer sur les 100 € d'origine et un loyer sur les 5 € de loyer qu'il a conservés.

• Année 1 : $100\times 1.05=\text{105,00 €}$
• Année 2 : $105\times 1.05=\text{110,25 €}$

Les 0,25 € supplémentaires représentent le loyer généré par le loyer de la première année.

TIP 🤔

La Capitalisation (Compounding) est le processus par lequel les intérêts génèrent des intérêts. C'est comme si l'argent faisait des bébés, et que ces bébés faisaient d'autres bébés.

La formule pour calculer le montant final capitalisé ($FV$) après $t$ années avec une fréquence de capitalisation de $n$ fois par an est :

$$FV=PV{(1+\frac{r}{n})}^{nt}$$

4. Simulateur

Utilisez le simulateur interactif ci-dessous pour voir comment différents taux d'intérêt et périodes de capitalisation affectent votre capital au fil du temps. Observez comment le Bonus de Capitalisation grandit d'autant plus que vous laissez l'argent loué longtemps !

Simulateur de Capitalisation

Capital Initial€100

€50€500€1 000

Taux d'Intérêt8%

0%12%25%

Durée5 Ans

1 An10 Ans20 Ans

Tracer	Fréquence	Capital de Départ	Montant Final	Intérêts Gagnés	Surplus Capitalisation
	Continue	€100.00	€149.18	+€49.18	+€0.01
	Journalière	€100.00	€149.18	+€49.18	+€0.19
	Mensuelle	€100.00	€148.98	+€48.98	+€2.05
	Annuelle	€100.00	€146.93	+€46.93	—

💡 Zoom & Pan Interactifs : Utilisez la molette pour zoomer. Cliquez & glissez pour vous déplacer. Cliquez sur Réinitialiser Zoom ⟳ pour restaurer.

5. Actualisation

Si l'argent grandit en avançant dans le temps, il doit rétrécir en retournant dans le passé.

Si une banque promet de vous payer 105 € dans exactement un an, combien vaut cette promesse pour vous aujourd'hui si le taux d'intérêt du marché est de 5 % ? Elle vaut exactement 100 € aujourd'hui. Pourquoi ? Parce que vous pourriez prendre 100 € aujourd'hui, les prêter à 5 %, et vous retrouver avec 105 € dans un an.

Ce processus est appelé Actualisation (Discounting), et les 100 € représentent la Valeur Actuelle (PV) des 105 € futurs :

$$\begin{array}{rl}\text{Valeur Actuelle }(PV)& =\frac{\text{Valeur Future }(FV)}{(1+r{)}^t}\\ & =\frac{\text{105 €}}{1.05}\\ & =\text{100 €}\end{array}$$

💻 Script Python

Modélisons cela mathématiquement en Python. Lancez ce script pour comparer la vitesse à laquelle 100 € grandissent sur 5 ans à un taux d'intérêt de 8 % selon différentes fréquences de capitalisation.

Vous trouverez le script associé ici : 1-rent-of-money.py

import math

# Parametres par defaut du simulateur (aucun accent dans le code ni dans les commentaires)
principal = 100.0
rate = 0.08  # 8% de loyer annuel
years = 5

# 1. Capitalisation Annuelle (1x/an)
annual_total = principal * (1 + rate) ** years

# 2. Capitalisation Mensuelle (12x/an)
monthly_total = principal * (1 + rate / 12) ** (12 * years)

# 3. Capitalisation Journaliere (365x/an)
daily_total = principal * (1 + rate / 365) ** (365 * years)

# 4. Capitalisation Continue (capitalisation infinie)
continuous_total = principal * math.exp(rate * years)

print(f"--- Comparaison de croissance sur {years} ans (Principal: {principal:.2f} EUR | Taux: {rate*100:.0f}%) ---")
print(f"Capitalisation Annuelle:     {annual_total:.2f} EUR")
print(f"Capitalisation Mensuelle:    {monthly_total:.2f} EUR  (Surplus vs Annuelle: +{monthly_total - annual_total:.2f} EUR)")
print(f"Capitalisation Journaliere:  {daily_total:.2f} EUR  (Surplus vs Mensuelle: +{daily_total - monthly_total:.2f} EUR)")
print(f"Capitalisation Continue:     {continuous_total:.2f} EUR  (Surplus vs Journaliere: +{continuous_total - daily_total:.2f} EUR)")

Pour exécuter ce script en local, tapez :

python3 python/1-rent-of-money.py